Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一動點，（點E不與C、D重合）且CD＝nDE， F為AD上一動點，且AE⊥FG于點H．

（1）如圖1，求證：AE＝FG；

（2）延長FG、AB相交于點P，且AH＝EH；

①n＝3，求證：FH+PG＝HG；

②若G是PH的中點，直接寫出n的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）①證明見解析；②或．

【解析】

（1）如圖1中，作GK⊥AD于K．證明△ADE≌△GKF（ASA）即可解決問題．
（2）①如圖2中，設FH=a．由tan∠DAE=tan∠P，推出，可得AH=EH=3a，PH=9a，求出HG，PG即可證明．
②如圖2中，設AH=EH=x，FH=y，GH=PG=m．構建方程組，求出x，y（用m表示），即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，作GK⊥AD于K．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAB＝∠B＝∠GKA＝90°，

∴四邊形ABGK是矩形，

∴AB＝GK＝AD，

∵FG⊥AE，

∴∠AHF＝90°，

∵∠DAE+∠AFH＝90°，∠AFH+∠FGK＝90°，

∴∠DAE＝∠KGF，

∵∠D＝∠GKF＝90°，

∴△ADE≌△GKF（ASA），

∴AE＝FG．

（2）①證明：如圖2中，設FH＝a．

∵CD＝nDE，n＝3，

∴CD＝3DE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠D＝∠DAB＝90°，CD＝AD，

∵∠AHF＝90°，

∴∠DAE+∠PAH＝90°，∠PAH+∠P＝90°，

∴∠DAE＝∠P，

∴tan∠DAE＝tan∠P，

∴，

∴AH＝EH＝3a，PH＝9a，

∵AE＝FG＝6a，

∴HG＝5a，PG＝4a，

∴FH+PG＝5a，

∴FH+PG＝HG．

②如圖2中，設AH＝EH＝x，FH＝y，GH＝PG＝m．

∵AE＝FG，

∴2x＝y+m，

∵△AHF∽△PHA，

∴AH2＝FHPH，

∴x2＝y2m，

∴x2﹣4xm+2m2＝0，

解得或，

∴或，

∴

∴或．