Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和直線m，給出如下定義：若存在一點P，使得點P到直線m的距離等于1，則稱P為直線m的平行點．

（1）當直線m的表達式為y＝x時，

①在點，，中，直線m的平行點是______；

②⊙O的半徑為，點Q在⊙O上，若點Q為直線m的平行點，求點Q的坐標．

（2）點A的坐標為（n，0），⊙A半徑等于1，若⊙A上存在直線的平行點，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，;②，，，;（2）．

【解析】

(1)①根據平行點的定義即可判斷；

②分兩種情形：如圖1，當點B在原點上方時，作OH⊥AB于點H，可知OH=1.如圖2，當點B在原點下方時，同法可求；

(2)如圖，直線OE的解析式為，設直線BC//OE交x軸于C，作CD⊥OE于D. 設⊙A與直線BC相切于點F，想辦法求出點A的坐標，再根據對稱性求出左側點A的坐標即可解決問題；

解：（1）①因為P2、P3到直線y＝x的距離為1，

所以根據平行點的定義可知，直線m的平行點是，，

故答案為，．

②解：由題意可知，直線m的所有平行點組成平行于直線m，且到直線m的距離為1的直線．

設該直線與x軸交于點A，與y軸交于點B．

如圖1，當點B在原點上方時，作OH⊥AB于點H，可知OH＝1．

由直線m的表達式為y＝x，可知∠OAB＝∠OBA＝45°．

所以．

直線AB與⊙O的交點即為滿足條件的點Q．

連接，作軸于點N，可知．

在中，可求．

所以．

在中，可求．

所以．

所以點的坐標為．

同理可求點的坐標為．

如圖2，當點B在原點下方時，可求點的坐標為點的坐標為，

綜上所述，點Q的坐標為，，，．

（2）如圖，直線OE的解析式為，設直線BC∥OE交x軸于C，作CD⊥OE于D．

當CD＝1時，在Rt△COD中，∠COD＝60°，

∴，

設⊙A與直線BC相切于點F，

在Rt△ACE中，同法可得，

∴，

∴，

根據對稱性可知，當⊙A在y軸左側時，，

觀察圖象可知滿足條件的N的值為：．