Question

【題目】如圖，二次函數的圖象交軸于、兩點，交軸于點，點的坐標為，頂點的坐標為.

（1）求二次函數的表達式和直線的表達式；

（2）點是直線上的一個動點，過點作軸的垂線，交拋物線于點，當點在第一象限時，求線段長度的最大值；

（3）在拋物線上存在異于、的點，使中邊上的高為，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3），

【解析】

（1）可設拋物線解析式為頂點式，由B點坐標可求得拋物線的解析式，則可求得D點坐標，利用待定系數法可求得直線BD解析式；

（2）設出P點坐標，從而可表示出PM的長度，利用二次函數的性質可求得其最大值；

（3）過Q作QG∥y軸，交BD于點G，過Q和QH⊥BD于H，可設出Q點坐標，表示出QG的長度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關于Q點坐標的方程，可求得Q點坐標．

解：（1）設二次函數的表達式為.

點在該二次函數的圖象上，

，

解得，

∴，

該二次函數的表達式為.

因為點在軸上，所以可令，解得.

設直線的表達式為，

把代入得，解得，

直線BD的表達式為.

（2）如圖：

設點的橫坐標為，則，

∴.

∵，則當時，PM有最大值，

的最大值為.

（3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H

設Q（x，-x2+2x+3），則G（x，-x+3），

∴QG=|-x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO=45°，

∴∠HGQ=∠BGE=45°，

當△BDQ中BD邊上的高為時，即QH=HG=，

∴QG==4，

∴|-x2+3x|=4，

當-x2+3x=4時，△=9-16＜0，方程無實數根，

當-x2+3x=-4時，解得x=-1或x=4，

∴點的坐標為：，；

∴綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為（-1，0）或（4，-5）．