Question

【題目】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．以AB為斜邊作等腰直角三角形ADB．點P是直線DB上一個動點，連接AP，作PE⊥AP交BC所在的直線于點E．

（1）如圖1，點P在BD的延長線上，PE⊥EC，AD=1，直接寫出PE的長；

（2）點P在線段BD上（不與B，D重合），依題意，將圖2補全，求證：PA=PE；

（3）點P在DB的延長線上，依題意，將圖3補全，并判斷PA=PE是否仍然成立．

Answer 1

【答案】(1)； (2)證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠ABP=45°，根據勾股定理得到AB==，推出四邊形ABEP是矩形，得到四邊形ABEP是正方形，于是得到結論；（2）根據等腰直角三角形的性質得到∠ADB=90°，∠DAB=∠DBA=45°，求得∠PBN=45°過P作PM⊥AB于點M，過P作PN⊥BC于點N，于是得到PM=PN，∠BPN=45°根據全等三角形的性質即可得到結論；

（3）根據等腰直角三角形的性質得到∠ABD=45°，得到∠PBN=45°，∠ABC=90°，過P作PM⊥AB于點M，過P作PN⊥BC于點N，得到四邊形BMPN是矩形，推出四邊形BMPN是正方形，得到PM=PN，根據全等三角形的性質即可得到結論．

（1）∵AD=DB=1，∠ADB=90°，

∴∠ABP=45°，AB==，

∵PE⊥AP，AB⊥BC，

∴PA∥EC，

∴PA⊥AB，

∴四邊形ABEP是矩形，

∵∠ABP=45°，

∴PA=AB，

∴四邊形ABEP是正方形，

∴PE=AB=

（2）∵△ABC和△ADB是等腰直角三角形，

∴∠ADB=90°，∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠PBN=45°

∴PE⊥AP，∠DAP=∠BPE=90°-∠DPA，

∵∠PAM=45°-∠DAP，∠PEN=45°-∠BPE，

∴∠PAM=∠PEN，

過P作PM⊥AB于點M，過P作PN⊥BC于點N，

則PM=PN，∠BPN=45°，

在△APM和△EPN中，

，

∴△APM≌△EPN，

∴PA=PE；

（3）∵△ABC和△ADB是等腰直角三角形，

∴∠ABD=45°，

∴∠PBN=45°，∠ABC=90°，

過P作PM⊥AB于點M，過P作PN⊥BC于點N，

則四邊形BMPN是矩形，

∵∠NBP=45°，

∴四邊形BMPN是正方形，

∴PM=PN，

∵AB⊥BC，

∴∠BAN=∠APN，

∵AP⊥PE，

∴∠APN=∠E，

∴∠BAP=∠E，

在△AMP與△ENP中，

，

∴△AMP≌△ENP，

∴AP=PE．