Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC邊上，且BD=BC，過點B作CD的垂線交AC于點O，以O為圓心，OC為半徑畫圓．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若AB=10，AD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD

∵BD=BC，BO⊥CD，

∴∠DBO=∠CBO．

∵BD=BC，∠DBO=∠CBO，OB=OB

∴△DBO≌△CBO，

∴OD=OC，∠ODB=∠OCB=90°，

∴AB是⊙O的切線．

（2）解：∵AB=10，AD=2，∴BC=BD=AB﹣AD=8，

在Rt△ABC中，AC= = =6，

設⊙O的半徑為r，則OD=OC=r，AO=AC﹣OC=6﹣r，

在Rt△ADO中，∵AD2+OD2=AO2

∴22+r 2=（6﹣r）2．

解之得r= ，即⊙O的半徑為 ．

【解析】（1）連接OD，證明△DBO≌△CBO，即可證得∠ODB=90°，從而證得AB是切線；（2）Rt△ABC中利用勾股定理求得AC的長，然后在直角△ADO中根據勾股定理列方程求得半徑的長．