Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，AD為邊上的高，將△ADC沿直線AC翻折得到△AEC，延長EA交⊙O于點P，連接FC，交AB于N．
（1）求證：∠BAC=∠ABC+∠ACF；
（2）求證：EF=DB；
（3）若AD=5，CD=10，CB∥AF，求點F到AB的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，∵△ADC沿直線AC翻折得到△AEC，

∴∠BAC=∠EAC=∠ACF+∠F，

∵∠F=∠ABC，

∴∠BAC=∠ABC+∠ACF．

（2）在△CEF和△CDB中，

∴△CEF≌△CDB，

∴EF=BD．

（3）由四邊形AECD，可證得∠BAF=∠ECD=2∠ACD，

取AC中點H作HG⊥AC，交CE于點G，則GC=GA，

∴∠EGA=2∠GCA=∠ECD，

設GC=GA=x，則EG=10﹣x，

在Rt△AEG中，52+（10﹣x）2=x2，

∴x= ，

∴tan∠EGA= ，

∵BC∥AF，

tanB=tan∠BAF= ，

設AF=a，BD=EF=5+a

tanB= = = ，

∴a= ，

在Rt△AMF中，∵tan∠FAM= = ，AF= ，

∴FM=2．

【解析】（1）由△ADC沿直線AC翻折得到△AEC，可得∠BAC=∠EAC=∠ACF+∠F，又∠F=∠ABC，即可推出∠BAC=∠ABC+∠ACF；（2）只要證明△CEF≌△CDB，即可推出EF=BD；（3）首先證明tan∠EGA=tanB=tan∠BAF= ，設AF=a，BD=EF=5+a，構建tanB= = = ，推出a= ，在Rt△AMF中，構建tan∠FAM= = ，即可推出AF= ，即可解決問題；