Question

【題目】已知：如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，AC=6cm，BC=8cm．
（1）求⊙O的半徑；
（2）請用尺規作圖作出點P，使得點P在優弧CAB上時，△PBC的面積最大，請保留作圖痕跡，并求出△PBC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠C=90°，

在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，

∴AB= =10，

∴⊙O的半徑為5cm

（2）解：如圖，作BC的垂直平分線交優弧CAB于P，交BC于D，

則BD=CD= BC=4，

在Rt△OBD中，OD= =3，

∴PD=3+5=8，

S△PBC= PDBC= ×8×8=32．

【解析】（1）利用圓周角定理得到∠C=90°，則利用勾股定理可計算出AB=10，從而得到⊙O的半徑；（2）如圖，作BC的垂直平分線交優弧CAB于P，交BC于D，利用垂徑定理得到BD=CD= BC=4，則利用勾股定理可計算出OD=3，然后利用三角形面積公式計算此時△PBC的面積．
【考點精析】關于本題考查的三角形的外接圓與外心，需要了解過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心才能得出正確答案．