Question

【題目】已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，點A在半徑為5的⊙O上，點O在直線l上．

(1)如圖①，若⊙O經過點C，交BC于點D，求CD的長．

(2)在(1)的條件下，若BC邊交l于點E，OE=2，求BE的長．

(3)如圖②，若直線l還經過點C，BC是⊙O 的切線，F為切點，則CF的長為____．

Answer 1

【答案】(1)CD=6；(2)BE=5-2；(3)4.

【解析】

(1)由圓周角定理可得AD是直徑，根據勾股定理可求CD的長；

(2)過點O作OF⊥CD，垂足為F，根據垂徑定理可得CF=DF=3，根據中位線定理可得OF=4，根據勾股定理可求EF的長，即可求BE的長；

(3)連接OF，OA，過點O作OE⊥AC于點E，可證四邊形OECF是矩形，可得CF=OE，FO=CE=5，由勾股定理可求AE的長，即可求CF的長．

解：(1)如圖：連接AD

∵∠ACB=90°，

∴AD是直徑

∴AD=10

在Rt△ACD中，CD=6

(2)如圖：過點O作OF⊥CD，垂足為F

∵OF⊥CD

∴CF=DF=3，且AO=DO

∴OF=AC=4

在Rt△OFE中，EF=

∵BE=BC-CF-EF

∴BE=8-3-

(3)如圖：連接OF，OA，過點O作OE⊥AC于點E，

∵BC是⊙O 的切線

∴OF⊥BC，

∴∠BFO=∠ACB=90°，OE⊥CE，

∴四邊形OECF是矩形

∴CF=OE，FO=CE=5，

∴AE=AC-CE=3

在Rt△AEO中，OE==4，

∴CF=4

故答案為：4