Question

【題目】如圖，曲線y1拋物線的一部分，且表達式為：y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）曲線y2與曲線y1關于直線x=3對稱．

（1）求A、B、C三點的坐標和曲線y2的表達式;
（2）過點D作CD∥x軸交曲線y1于點D，連接AD，在曲線y2上有一點M，使得四邊形ACDM為箏形（如果一個四邊形的一條對角線被另一條對角線垂直平分，這樣的四邊形為箏形），請求出點M的橫坐標;
（3）設直線CM與x軸交于點N，試問在線段MN下方的曲線y2上是否存在一點P，使△PMN的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y1=（x2﹣2x﹣3）中，令y1=0，則有0=（x2﹣2x﹣3），解得x=﹣1或x=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

又∵C為與y軸的交點，

∴C（0，），

又曲線y2與曲線y1關于直線x=3對稱，

∴曲線y2可由曲線y1關向右平移3個單位得到，

∴y2=(X2-10X+21)（x≥3）

（2）

解：

若AD垂直平分CM，則可知CDMA為菱形，此時點M（1，0），顯然不在y2上；

故直線CM垂直平分AD，取AD中點P，易求其坐標為（1，），

故直線CN的解析式為：yCN=x-，

求其與y2的交點坐標：，

解得：x1=，x2=（不合舍去），

∴x=

（3）

解：

因為MN的長度固定，故點P到MN的距離最大時，△PMN的面積最大，

∴可設另一直線y=x+b與y2相交于點P，很顯然它們只有一個交點時，滿足條件．

即：只有唯一一個解的時候，這個點就是點P，

即方程x+b=（x2﹣10x+21）有唯一一個解，

解得：x=，

將x=代入y2=(X2-10X+21)，解得y=,

故點P的坐標為(，)

【解析】（1）對點A、B、C坐標的意義要明白，點A與點B是二次函數與橫軸的交點，點C是縱軸的交點，關于x=3意義的理解，就是將y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）進行了平移，從而可求得拋物線y2的解析式；
（2）要理解，只有當CM垂直平分AD時，才能在y2找到點M，故點M即為直線（C與AD的中點P連線）的交點；
（3）顯然MN的值固定，即在y2上的點，到CM的距離最大的點，即與CM平行的直線與y2只有一個交點時，即為所求．
【考點精析】本題主要考查了圖形的平移和菱形的性質的相關知識點，需要掌握對應線段,對應點所連線段平行（或在同一直線上）且相等；對應角相等；平移方向和距離是它的兩要素；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．