Question

15．如果兩個三角形的兩條邊對應相等，夾角互補，那么這兩個三角形叫做互補三角形，如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF，則圖中的兩個三角形就是互補三角形．
（1）圖1中的△ABC的BC邊上有一點D，線段AD將△ABC分成兩個互補三角形，則點D在BC邊的中點處．
（2）證明：圖2中的△ABC分割成兩個互補三角形面積相等；
（3）如圖3，在圖2的基礎上再以BC為邊向外作正方形BCHI，已知三個正方形面積分別是17、13、10．則圖3中六邊形DEFGHI的面積為62．（提示：可先利用圖4求出△ABC的面積）

Answer 1

分析 （1）作BC邊上的中線AD即可．
（2）根據互補三角形的定義證明即可．
（3）畫出圖形后，利用割補法求面積即可．

解答 解：（1）如圖1中，作BC邊上的中線AD，△ABD和△ADC是互補三角形；
故答案為：中點．
（2）如圖2所示：
延長FA到點H，使得AH=AF，
連接EH．
∵四邊形ABDE，四邊形ACGF是正方形，
∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴△AEF和△ABC是兩個互補三角形．
∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，
∴∠EAH=∠BAC，
∵AF=AC，
∴AH=AB，
在△AEH和△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}&{\;}\\{∠EAB=∠BAC}&{\;}\\{AH=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△ABC，
∴S_△AEF=S_△AEH=S_△ABC．
（3）邊長為$\sqrt{17}$、$\sqrt{13}$、$\sqrt{10}$的三角形如圖4所示．
∵S_△ABC=3×4-2-1.5-3=5.5，
∴S_六邊形=17+13+10+4×5.5=62；
故答案為：62．

點評 本題考查作圖-應用與設計，三角形面積等知識，解題的關鍵是理解題意，搞清楚互補三角形的面積相等，學會利用割補法求面積，學會利用平移添加輔助線，屬于中考常考題型．