Question

17．定義：如果二次函數y₁=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁、b₁、c₁是常數）與y₂=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂、b₂、c₂是常數）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”．求y=-x²+3x-2函數的“旋轉函數”．小明是這樣思考的：由y=-x²+3x-2函數可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，根據a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0求出a₂，b₂，c₂，就能確定這個函數的“旋轉函數”．
請參考小明的方法解決下面的問題：
（1）寫出函數y=-x²+3x-2的“旋轉函數”；
（2）若函數y₁=x²-$\frac{4n}{3}$x+n與y₂=-x²+mx-3互為“旋轉函數”，求（m+n）²⁰¹⁶的值；
（3）已知函數y=2（x+1）（x-4）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是A₁、B₁、C₁，請指出經過點A₁、B₁、C₁的二次函數與y=2（x+1）（x-4）是否互為“旋轉函數”．填是 （是或不是）．

Answer 1

分析 （1）根據“旋轉函數”的定義求出a₂，b₂，c₂，從而得到原函數的“旋轉函數”；
（2）根據“旋轉函數”的定義得到-$\frac{4n}{3}$=m，-3+n=0，再解方程組求出m和n的值，然后根據乘方的意義計算；
（3）先根據拋物線與坐標軸的交點問題確定A（-1，0），B（4，0），C（0，-8），再利用關于原點對稱的點的坐標特征得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，8），則可利用交點式求出經過點A₁，B₁，C₁的二次函數解析式為y=-2（x-1）（x+4）=-2x²-6x+8，再把y=2（x+1）（x-4）化為一般式，然后根據“旋轉函數”的定義進行判斷

解答 （1）解：∵a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，
∴-1+a₂=0，b₂=3，-2+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=3，c₂=2，
∴函數y=-x²+3x-2的“旋轉函數”為y=x²+3x+2；
（2）解：根據題意得-$\frac{4n}{3}$=m，-3+n=0，解得m=-4，n=3，
∴（m+n）²⁰¹⁶=（-4+3）²⁰¹⁶=1；
（3）解：當x=0時，y=2（x+1）（x-4）=-8，則C（0，-8），
當y=0時，2（x+1）（x-4）=0，解得x₁=-1，x₂=4，則A（-1，0），B（4，0），
∵點A、B、C關于原點的對稱點分別是A₁，B₁，C₁，
∴A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，8），
設經過點A₁，B₁，C₁的二次函數解析式為y=a₂（x-1）（x+4），把C₁（0，8）代入得a₂•（-1）•4=8，解得a₂=-2，
∴經過點A₁，B₁，C₁的二次函數解析式為y=-2（x-1）（x+4）=-2x²-6x+8，
而y=2（x+1）（x-4）=2x²-6x-8，
∴a₁+a₂=2+（-2）=0，b₁=b₂=-6，c₁+c₂=0，
∴經過點A₁、B₁、C₁的二次函數與函數y=2（x+1）（x-4）互為“旋轉函數”．
故答案為：是．

點評 此題是二次函數綜合題，熟練掌握關于原點對稱的兩點的坐標特征；會求二次函數圖象與坐標軸的交點和待定系數法求二次函數解析式；對新定義的理解能力．解題的關鍵是抓住互為“旋轉函數”的定義，利用函數各多項式前面的系數解決問題．