Question

6．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+8（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），
B（4，0）與y軸交于點(diǎn)C．
（Ⅰ）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求△BCD的面積；
（Ⅲ）若直線CD交x軸與點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD與點(diǎn)F，將拋物線沿其對(duì)稱(chēng)軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究拋物線最多可以向上平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度（直接寫(xiě)出結(jié)果，不寫(xiě)求解過(guò)程）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，通過(guò)對(duì)解析式進(jìn)行配方能得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（Ⅱ）先求出直線BC解析式，進(jìn)而用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
（Ⅲ）首先確定直線CD的解析式以及點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，若拋物線向上平移，首先表示出平移后的函數(shù)解析式；當(dāng)x=-8時(shí)（與點(diǎn)E橫坐標(biāo)相同），求出新函數(shù)的函數(shù)值，若拋物線與線段EF有公共點(diǎn)，那么該函數(shù)值應(yīng)不大于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．當(dāng)x=4時(shí)（與點(diǎn)F的橫坐標(biāo)相同），方法同上，結(jié)合上述兩種情況，即可得到函數(shù)圖象的最大平移單位．

解答 解：（Ⅰ）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，頂點(diǎn)D（1，9）；
（Ⅱ）如圖1，

∵拋物線的解析式：y=-x²+2x+8，
∴C（0，8），
∵B（4，0），
∴直線BC解析式為y=-2x+8，
∴直線和拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)H（1，6），
∴S_△BDC=S_△BDH+S_△DHC=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×3×3=6．
（Ⅲ）如圖2，

∵C（0，8），D（1，9）；
代入直線解析式y(tǒng)=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{k+b=9}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴y=x+8，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（-8，0），
∵B（4，0），
∴x=4時(shí)，y=4+8=12
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，12），
設(shè)拋物線向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（m＞0），
則拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+9+m；
當(dāng)x=-8時(shí)，y=m-72，
當(dāng)x=4時(shí)，y=m，
∴m-72≤0 或 m≤12，
∴0＜m≤72，
∴拋物線最多向上平移72個(gè)單位．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、四邊形的內(nèi)角和、解直角三角形等綜合知識(shí)．最后一個(gè)小題要結(jié)合圖形來(lái)進(jìn)行解答，若題目沒(méi)有明確“向上平移”，該題就需要進(jìn)行分類(lèi)討論，要注意解題方法的總結(jié)和拓展．