Question

5．如圖1，長方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且$\sqrt{AB-4}$+|BC-6|=0，點P、Q分別是邊AD、AB上的動點．
（1）求BD的長；
（2）如圖2，在P、Q運動中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形？若能，請求出PA的長；若不能，請說明理由；
（3）如圖3，在BC上取一點E，使EC=5，那么當△EPC為等腰三角形時，請直接寫出PA的長．

Answer 1

分析 （1）由條件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的長；
（2）由題可知只能有∠QPC為直角，當PQ=PC時，可證得Rt△PDC≌Rt△QAP，可求得AP的長；
（3）分PC=EC、PC=PE和PE=EC三種情況分別利用等腰三角形的性質和勾股定理求解即可．

解答 解：（1）如圖1，連接BD，

∵$\sqrt{AB-4}$+|BC-6|=0，
∴AB=4，BC=6，
則在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD=2$\sqrt{13}$；
（2）能，AP=4，
理由如下：
如圖2，由圖形可知∠PQC和∠PCQ不可能為直角，所以只有∠QPC=90°，
則∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD，
∴∠QPA=∠PCD，
當PQ=PC時，
在Rt△APQ和Rt△DCP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QPA=∠PCD}\\{∠A=∠C}\\{PQ=PC}\end{array}\right.$
∴△APQ≌△DCP（AAS），
∴AP=CD=4，
故在P、Q運動中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形，此時AP=4；

（3）當PC=EC=5時，在Rt△PCD中，CD=4，PC=EC=5，
由勾股定理可得，PD=3，
∴AP=AB-PD=3，
當PC=PE=5時，如圖3，

過P作PF⊥BC交BC于點F，則FC=EF=PD=$\frac{1}{2}$EC=2.5，
∴AP=AB-PD=6-2.5=3.5，
當PE=EC=5時，
如圖4，

過E作EH⊥AD于點H，由可知AH=BE=1，
在Rt△EHD中，EH=AB=4，EP=5，
由勾股定理可得HP=3，
∴AP=AH+PH=1+3=4，
綜上可知，當△EPC為等腰三角形時，求出PA的長為3、3.5或4．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查矩形的性質及全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質的綜合應用，在（2）①中判斷出只有PQ=PC一種情況、②中分三種情況進行討論求解是解題的關鍵．