Question

12．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點F，連接DF，分析下列五個結論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=$\sqrt{2}$；⑤S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，其中正確的結論有①②③⑤．

Answer 1

分析 ①四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；
②由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，故②正確；
③過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根據線段的垂直平分線的性質可得結論，故③正確；
④根據三角函數的定義得到tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④錯誤；
⑤根據△AEF∽△CBF得到$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，求出S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD；S_{四邊形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，即可得到S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故⑤正確．

解答 解：過D作DM∥BE交AC于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于點F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{CF}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正確，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正確；
由△BAE∽△ADC，有$\frac{AB}{AD}=\frac{\frac{AD}{2}}{AB}$，
∴$\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}=\frac{AB}{AD}$，
∴tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④錯誤；
∵△AEF∽△CBF，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD
∴S_△AEF=$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD，
又∵S_{四邊形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，
∴S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故⑤正確；
故答案為：①②③⑤．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，圖形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．