Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD=BC，延長AD到E，且有∠EBD=∠CAB.

(1)如圖1，若BD=,AC=6

A.求證：BE為圓O的切線

B.求DE的長

(2)如圖2，連結CD交AB于點F,若BD=，CF=3，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）A.見解析；B.；（2）5

【解析】

（1）A.連接OB，由條件可求得∠EBD=∠ABO，再利用圓周角定理可求得∠EBD+∠OBD=90°，可證明BE是⊙O的切線；
B.利用圓內接四邊形的性質可求得∠BDE=∠ACB，可證明△ACB∽△BDE，利用相似三角形的性質可求得DE的長；
（2）延長DB、AC交于點H，可證得△ABD≌△ABH，可求得HB，再利用△DCH∽△DBF，可求得DF的長，設⊙O的半徑為r，則AD=AH=2r，在Rt△DCH中可求得CH=4，在Rt△ADC中，AD=2r，CD=8，AC=2r-4，由勾股定理可得到關于r的方程，可求得圓的半徑．

(1) A.如圖1，連接OB，

∵BD=BC，

∴∠CAB=∠BAD，

∵∠EBD=∠CAB，

∴∠BAD=∠EBD，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，OA=BO，

∴∠BAD=∠ABO，

∴∠EBD=∠ABO，

∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，

∵點B在⊙O上，

∴BE是⊙O的切線；

B.∵四邊形ACBD是圓的內接四邊形，

∴∠ACB=∠BDE，且∠EBD=∠CAB，

∴△ACB∽△BDE，

∴=,即，

解得DE=；

(2)如圖2，延長DB、AC交于點H，

∵AD為⊙O的直徑，

∴∠ABD=∠ABH=90°，

∵BD=BC，

∴∠DAB=∠HAB，

在△ABD和△ABH中

∴△ABD≌△ABH(ASA)，

∴BD=HB=，

∵∠DCH=∠FBD=90°，

∴△DCH∽△DBF，

∴=,即=，解得DF=5，

設⊙O的半徑為r，則AD=AH=2r，

在Rt△DCH中,CH===4，

∴AC=2r4，

在Rt△ACD中,由勾股定理可得AD2=AC2+CD2，

∴(2r)2=(2r4)2+82，解得r=5，

即⊙O的半徑為5.