Question

【題目】與都是等腰直角三角形，且，，連接DC，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點

（1）如圖1，當點D、E分別在邊AB、AC上，線段PM與PN的數量關系是______，位置關系是______；

（2）把等腰繞點A旋轉到如圖2的位置，連接MN，判斷的形狀，并說明理由；

（3）把等腰繞點A在平面內任意旋轉，，，請直接寫出的面積S的變化范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，見解析；（3）.

【解析】

（1）利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進而判斷出BD=CE，即可得出結論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出結論；

（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出結論；

（3）先判斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD=14，再判斷出BD最小時，△PMN最小，即可得出結論．

解：（1）∵點P，N是BC，CD的中點，

∴PN∥BD，PN=BD，

∵點P，M是CD，DE的中點，

∴PM∥CE，PM=CE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴BD=CE，

∴PM=PN，

∵PN∥BD，

∴∠DPN=∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCA，

∵∠BAC=90°，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，

∴PM⊥PN，

故答案為：PM=PN，PM⊥PN；

（2）是等腰直角三角形．

由旋轉知，，

∴，，

∴（SAS），

∴，，

利用三角形的中位線得，，，

∴，

∴是等腰三角形，

同（1）的方法得，，

∴，

同（1）的方法得，，

∴，

∵，

∴

，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（3）；

由（2）知，是等腰直角三角形，，

∴PM最大時，面積最大，PM最小時，面積最小

∴點D在BA的延長線上，的面積最大，

∴，

∴

∴，

當點D在線段AB上時，的面積最小，

∴，

∴，

，

∴.