Question

【題目】如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M，N；

②連接MN，分別交AB、AC于點D、O；

③過C作CE∥AB交MN于點E，連接AE、CD．

（1）求證：四邊形ADCE是菱形.

（2）當∠ACB＝90°，AC＝16，△ADC的周長為36時，直接寫出四邊形ADCE的面積為______．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）96

【解析】

（1）根據作圖的過程可得MN為線段AC的垂直平分線，可得AE＝EC，OA=OC，AC⊥DE，根據平行線的性質可得∠ADE=∠DEC，利用AAS可證明△ADO≌△CEO，可得OD=OE，根據對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形即可得結論；（2）根據（1）可知ADCE是菱形，可得AD=CD，OA=AC=8，根據△ADC的周長可求出AD＝10，根據勾股定理得OD＝6，即可得答案．

（1）根據作圖過程可知：MN是線段AC的垂直平分線，

∴AE＝EC，OA＝OC，MN⊥AC，

∴∠AOD=∠COE=90°，

∵CE∥AB，

∴∠ADE=∠DEC，

在△AOD和COE中，，

∴△ADO≌△CEO（AAS），

∴OD=OE，

∴四邊形ADCE是菱形．

（2）由（1）可知四邊形ADCE是菱形，

∴AD=CD，OA=AC=8，AC⊥DE，

∵△ADC的周長為36，AC＝16，

∴AD=×（36-16）=10，

∴OD===6，

∴DE=2OD=12，

∴菱形ADCE的面積=DEAC＝×12×16＝96．

故答案為：96