Question

已知二次函數y=kx²-（k+3）x+3在x=0和x=4時的函數值相等．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）畫出該函數的圖象，并結合圖象直接寫出當y＜0時，自變量x的取值范圍；
（3）已知關于x的一元二次方程k²x²-

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mx+m²-m=0，當-1≤m≤3時，判斷此方程根的情況．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數的圖象,待定系數法求二次函數解析式

專題：計算題

分析：（1）利用x=0和x=4時的函數值相等得到16k-4（k+3）+3=3，解得k=1，于是得到二次函數解析式為y=x²-4x+3；
（2）先利用配方法得到拋物線的頂點坐標為（2，-1），再確定拋物線與x軸的交點坐標為（1，0）、（3，0），然后利用描點法畫出拋物線，通過圖象得到當1＜x＜3時，y＜0；
（3）k=1時，方程化為x²-

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mx+m²-m=0，再計算△=-（m-2）²+4，討論：當-1≤m＜0時，△＜0；當m=0時，△=0；當0＜m≤3時，△＞0，然后根據判別式的意義判斷根的情況．

解答：解：（1）∵x=0和x=4時的函數值相等，
∴16k-4（k+3）+3=3，
∴k=1，
∴二次函數解析式為y=x²-4x+3；
（2）y=x²-4x+3=（x-2）²-1，則拋物線的頂點坐標為（2，-1），
當y=0時，x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，則拋物線與x軸的交點坐標為（1，0）、（3，0），
如圖，當1＜x＜3時，y＜0；
（3）k=1時，方程化為x²-

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mx+m²-m=0，
△=（-

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m）²-4（m²-m）=-m²+4m=-（m-2）²+4，
當-1≤m＜0時，△＜0；
當m=0時，△=0；
當0＜m≤3時，△＞0，
∴當-1≤m＜0時，原方程沒有實數根；當m=0時，原方程有兩個相等的實數根；當0＜m≤3時，原方程有兩個不相等的實數根．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．