Question

已知，在△ABC中，∠ACB=2∠B．
（1）如圖1，當(dāng)AD為∠BAC的角平分線時(shí)，求證：AB=AC+CD；
（2）如圖2，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，對(duì)你的猜想加以證明．

Answer 1

分析：（1）在AB上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE，證明△ACD≌△AED，得出CD=DE，及證明△EDB為等腰三角形，得出DE=BE，得出AB=AC+CD；
（2）在AB的延長(zhǎng)線AF上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE．證明△ACD≌△AED，DE=BE，BE=CD，得出結(jié)論．

解答：明：在AB上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE
在△ACD和△AED中，

AC=AE ∠CAD=∠EAD AD=AD

，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠C=∠AED，CD=DE，
，又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∴AB=AC+CD；

（2）AB=CD-AC
證明：在BA的延長(zhǎng)線AF上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE
在△ACD和△AED中，

AC=AE ∠CAD=∠EAD AD=AD

，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠FAD=2∠B，
又∵∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∴AB=CD-AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定、三角形的角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)外角的關(guān)系；正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵，證明線段的和差問(wèn)題往往是通過(guò)全等來(lái)證明的．