Question

如圖，已知，直線l分別交x軸y軸于A、B兩點，OA、OB的長滿足

OA-2

+|OB-3|=0，點P是直線l上一點，且AP=2BP．
（1）求直線l的解析式；
（2）求過點P的反比例函數解析式；
（3）點C（0，3）在反比例函數圖象上是否存在一點D，使以點A、B、C、D為頂點，AC為腰的四邊形為梯形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）根據非負數的性質求得OA和OB的長，即A和B的坐標，利用待定系數法求得直線l的解析式；
（2）AP=2BP，則AB=BP，作PE⊥y軸于點E，證明△AOB≌△PEB，求得PE和OE的長，則P的坐標即可求得，然后利用待定系數法求得反比例函數解析式；
（3）點A、B、C、D為頂點，AC為腰的四邊形為梯形，則是梯形ABDC，其中D在第四象限，求得CD的解析式，然后解直線CD的解析式和反比例函數解析式的交點即可求解．

解答：解：（1）∵

OA-2

+|OB-3|=0，
∴OA-2=0，OB-3=0，
則OA=2，OB=3，
則A的坐標是（-2，0），B的坐標是（0，-3），
設直線l的解析式是y=kx+b，根據題意得：

-2k+b=0 b=-3

，
解得：

k=- 3 2 b=-3

，
則直線l的解析式是y=-

3

2

x-3；
（2）∵AP=2BP，
∴AB=BP，
作PE⊥y軸于點E．
在△AOB和△PEB中，

∠AOB=∠BEP ∠ABO=∠PBE AB=BP

，
∴△AOB≌△PEB（AAS），
∴PE=OA=2，BE=OB=，3，即OE=4，
∴P的坐標是（2，-6）．
設反比例函數的解析式是y=

k

x

，把（2，-6）代入得：k=-12，
則反比例函數的解析式是：y=-

12

x

；
（3）點A、B、C、D為頂點，AC為腰的四邊形為梯形，
則是梯形ABDC，其中D在第四象限．
設直線CD的解析式是y=-

3

2

x+b，把（-2，0）代入解析式得：-3+b=0，
解得：b=3，
則直線CD的解析式是：y=-

3

2

x+3．
解方程組

y=- 3 2 x+3 y=- 12 x

，
解得：

x=4 y=-3

或

x=-2 y=6

（舍去）．
則D的坐標是（4，-3）．

點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式，以及全等三角形的判定與性質，正確確定點A、B、C、D為頂點，AC為腰的四邊形為梯形，是梯形ABDC，其中D在第四象限是關鍵．