Question

如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D，與直角邊AC相交于E、F兩點，連接DE，已知∠B=30°，⊙O的半徑為12，弧DE的長度為4π．
（1）則∠ADE的度數為

 

．
（2）若AF=CE，則線段BC的長度為

 

．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：（1）由弧DE的長度為4π，可以求得∠DOE的度數，再根據切線的性質可求得∠EDA的度數，即可證明結論．
（2）根據90°的圓周角對的弦是直徑，可以求得EF，的長度，借用勾股定理求得AE與CF的長度，即可得到答案．

解答：30° 60解：（1）證明：連接OD、OE，

∵AD是⊙O的切線，
∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，
又∵弧DE的長度為4π，
∴4π=

nπ×12

180

，
∴n=60，
∴△ODE是等邊三角形，
∴∠ODE=60°，
∴∠EDA=30°；
（2）連接FD，

∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴FD是⊙0的直徑，
由（1）得：∠EFD=

1

2

∠EOD=30°，FD=24，
∴EF=12

3

，
又∵∠EDA=30°，DE=12，
∴AE=4

3

，
又∵AF=CE，∴AE=CF，
∴CA=AE+EF+CF=20

3

，
又∵tan∠ABC=tan30°=

AC

BC

，
∴BC=60．
故答案為：30°，60．

點評：本題考查了勾股定理以及圓的性質的綜合應用，解答本題的關鍵在于90°的圓周角對的弦是直徑這一性質的靈活運用．