Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（2，﹣1），圖象與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線對稱軸與直線BC交于點D，連接AC、AD，點E為直線BC上的任意一點，過點E作x軸的垂線與拋物線交于點F，問是否存在點E使△DEF為直角三角形？若存在，求出點E坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）存在滿足條件的點E，其坐標為（2+，1﹣）或（2﹣，1+）或（1，2）或（4，﹣1），理由見解析

【解析】

（1）可設拋物線解析式為頂點式y=a(x-2)2-1（a≠0），把C點坐標代入上式，可求得a的值，進而求得拋物線解析式；

（2）根據題意可分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°兩種情況，當∠DFE＝90°時，可知DF∥x軸，則可求得E點橫坐標，代入直線BC解析式可求得E點坐標；當∠EDF＝90°時，可知：點F在直線AD上，求出直線AD解析式，聯立直線AD和拋物線解析式可求得點E的橫坐標，代入直線BC可求得點E的坐標．

（1）∵拋物線的頂點坐標為（2，﹣1），

∴可設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），

把C（0，3）代入可得：a（0﹣2）2﹣1＝3，解得a＝1，

∴拋物線解析式為y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；

（2）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，

∴A（1，0），B（3，0），

設直線BC解析式為y＝kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3＝0，解得k＝﹣1，

∴直線BC解析式為y＝﹣x+3，

由（1）可知拋物線的對稱軸為：直線x＝2，此時y＝﹣2+3＝1，

∴D（2，1），

∴AD2＝2，AC2＝10，CD2＝8，

∵AD2+CD2＝AC2，

∴∠ADC＝90°，

由題意知EF∥y軸，則∠FED＝∠OCB≠90°，

∴△DEF為直角三角形，分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°兩種情況，

①當∠DFE＝90°時，即DF∥x軸，則D、F的縱坐標相同，如圖1，

∴F點縱坐標為1，

∵點F在拋物線上，

∴x2﹣4x+3＝1，解得x＝2±，即點E的橫坐標為2±，

∵點E在直線BC上，

∴當x＝2+時，y＝﹣x+3＝1﹣，

當x＝2﹣時，y＝﹣x+3＝1+，

∴E點坐標為（2+，1﹣）或（2﹣，1+）；

②當∠EDF＝90°時，且∠ADC＝90°，如圖2，

∴點F在直線AD上，

∵A（1，0），D（2，1），

∴直線AD解析式為y＝x﹣1，

∴直線AD與拋物線的交點即為F點，

聯立直線AD與拋物線解析式得：x2﹣4x+3＝x﹣1，解得x＝1或x＝4，

當x＝1時，y＝﹣x+3＝2，

當x＝4時，y＝﹣x+3＝﹣1，

∴E點坐標為（1，2）或（4，﹣1），

綜上可知存在滿足條件的點E，其坐標為（2+，1﹣）或（2﹣，1+）或（1，2）或（4，﹣1）．

圖1 圖2