Question

【題目】已知銳角△ABC內接于圓O，D為弧AC上一點，分別連接AD、BD、CD，且∠ACB＝90°﹣∠BAD．

（1）如圖1，求證：AB＝AD；

（2）如圖2，在CD延長線上取點E，連接AE，使AE＝AD，過E作EF垂直BD的延長線于點F，過C作CG⊥EC交EF延長線于點G，設圓O半徑為r，求證：EG＝2r；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DG，若AC＝BC，DE＝4CD，當△ACD的面積為10時，求DG的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）欲證明AB＝AD，只要證明∠ABD＝∠ADB即可；（2）如圖2中，連接BE交AC于L，連接AO，延長AO交BD于J，交BE于T，連接CO，延長CO交⊙O于K，連接BK．想辦法證明△CBK≌△ECG（AAS）可得結論；（3）如圖3中，在圖2的基礎上作AH⊥DE于H．假設CD＝k，DE＝4k，則CE＝CB＝CA＝5k，利用勾股定理求出AH，再利用三角形的面積公式求出K的值，再求出EG，CG即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵∠∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝90°﹣∠BAD，

∴∠ADB＝90°﹣BAD，

∵∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣（90°﹣∠BAD）＝90°﹣∠BAD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD．

（2）證明：如圖2中，連接BE交AC于L，連接AO，延長AO交BD于J，交BE于T，連接CO，延長CO交⊙O于K，連接BK．

∵AE＝AD，

∴∠ADE＝∠AED，

∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，

∴∠ADE＝∠ABC＝∠AED，

∵AB＝AD，

∴，

∴∠ACB＝∠ACE，AJ⊥BD，

∵AC＝AC，

∴△ACB≌△ACE（AAS），

∴CB＝CE，

∵AB＝AE，

∴AC⊥BE，

∴∠ALB＝∠AJB＝90°，

∵∠ATL＝∠BTJ，

∴∠TAL＝∠TBJ，

∵AB＝AD＝AE，

∴∠BED＝∠BAD＝∠BAJ，

∵∠EDF＝∠DBE+∠DEB，

∴∠EDF＝∠BAC，

∵∠K＝∠BAC，

∴∠K＝∠EDF，

∵CG⊥CE．EG⊥BF，

∴∠DFE＝∠GCG＝90°，

∵∠DEF+∠EDF＝90°，∠DEF+∠G＝90°，

∴∠G＝∠EDF＝∠K，

∵∠CBK＝∠GCE＝90°，

∴△CBK≌△ECG（AAS），

∴EG＝CK＝2r，

（3）解：如圖3中，在圖2的基礎上作AH⊥DE于H．

∵DE＝4CD，

∴可以假設CD＝k，DE＝4k，則CE＝CB＝CA＝5k，

∵AE＝AD，AH⊥DE，

∴DH＝EH＝2k，CH＝CD+DH＝3k，

∴AH＝，

AD＝

∵S△ACD＝CDAH＝k4k＝10，

∴k＝（負根舍棄），

∴CD＝，AC＝BC＝EC＝5，AD＝AB＝10，

設CK交AB于J，OA＝OC＝r，則BJ＝AJ＝5，CJ＝

在Rt△AOJ中，則有r2＝52+（10﹣r）2，

解得r＝ ，

∴EG＝2r＝，

∴CG＝

∴DG＝