Question

【題目】已知橢圓 的右焦點為F（1，0），且經過點
（1）求橢圓P的方程；
（2）已知正方形ABCD的頂點A，C在橢圓P上，頂點B，D在直線7x﹣7y+1=0上，求該正方形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得：a2﹣b2=1， + =1，聯立解得a2=4，b2=3．

∴橢圓P的方程為 + =1．

（2）

∵ABCD為正方形，∴AC⊥BD，設直線AC的方程為：y=﹣x+m．

代入橢圓方程可得：7x2﹣8mx+4m2﹣12=0，

△=64m2﹣28（4m2﹣12）＞0，解得 ＜m ，

設A（x1，y1），C（x2，y2），

則x1+x2= ，x1x2= ，y1+y2=2m﹣（x1+x2）=2m﹣ = ．

∴線段AC的中點M ．

由點M在直線BD上，∴7× ﹣7× +1=0，解得m=﹣1∈ ．

∴直線AC的方程為：x+y+1=0．

|AC|= = × = ．

∴該正方形ABCD的面積S= = = ．

【解析】（1）由題意可得：a2﹣b2=1， + =1，聯立解出即可得出．（2）ABCD為正方形，可得AC⊥BD，設直線AC的方程為：y=﹣x+m．代入橢圓方程可得：7x2﹣8mx+4m2﹣12=0，△＞0，解得 ＜m ，設A（x1 ， y1），C（x2 ， y2），利用根與系數的關系、中點坐標公式可得：線段AC的中點M ．由點M在直線BD上，代入解得m=﹣1∈ ．可得直線AC的方程為：x+y+1=0．可得|AC|= ．可得該正方形ABCD的面積S= ．