Question

【題目】某公司經過市場調查發現，該公司生產的某商品在第x天的銷售單價為（x+20）元/件（1≤x≤50），且該商品每天的銷量滿足關系式y=200﹣4x．已知該商品第10天的售價按8折出售，仍然可以獲得20%的利潤．
（1）求公司生產該商品每件的成本為多少元？
（2）問銷售該商品第幾天時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）該公司每天還需要支付人工、水電和房租等其它費用共計a元，若公司要求每天的最大利潤不低于2200元，且保證至少有46天盈利，則a的取值范圍是（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設該公司生產每件商品的成本為a元，根據題意，

得：0.8×（10+20）﹣a=0.2a，

解得：a=20，

故該公司生產每件商品的成本為20元

（2）解：設第x天的銷售利潤為W，

則：W=（x+20﹣20）（﹣4x+200）=﹣4x2+200x=﹣4（x﹣25）2+2500，

∴當x=25時，W取得最大值，最大值為2500元，

故問銷售該商品第25天時，每天的利潤最大，最大利潤是2500元

（3）0＜a≤300
【解析】解： （3）記公司每天控制人工、水電和房租支出共計a元后利潤為P， 則P=﹣4（x﹣25）2+2500﹣a，
根據題意：2500﹣a≥2200，
解得：a≤300，
又∵至少有46天的盈利，
∴﹣4x2+200x﹣a=0的兩根x1、x2間距離x1﹣x2≥46，
∴（x1﹣x2）2≥462 ， 即（x1+x2）2﹣4x1x2≥462 ，
∵x1+x2=50，x1x2= ，
∴502﹣4× ≥462 ， 解得：a≤384，
綜上，0＜a≤300，
所以答案是：0＜a≤300．