Question

【題目】如圖，點P（1，2），⊙P經過原點O，交y軸正半軸于點A，點B在⊙P上，∠BAO＝45°，則點B的坐標是_____．

Answer 1

【答案】(3,1)或(1,3)．

【解析】

作輔助線，先利用勾股定理求圓P的半徑為，根據已知中的∠BAO=45°可知，兩個滿足條件的點B的連線就是圓P的直徑，由此證明△BOG≌△BOH，設B（x，y），則OG=x，BG=y，從而列方程組可求出x、y的值，寫出符合條件的點B的坐標．

連接OP，過P作PE⊥x軸于E，

∵P(1,2)，

∴OE=1，PE=2，

由勾股定理得：OP=

過A作MN⊥x軸,分別作∠MAO、∠NAO的平分線交P于B、B，

則∠BAO=45°,∠BAO=45°，

∴∠BAB=90°，

連接BB,則BB是P的直徑，即過點P，

∴BB=，

∴∠BOB=90°，

∵∠OBB=∠BAO=45°，

∴△BBO是等腰直角三角形，

∴OB=OB==，

過B作BG⊥x軸于G,過B作B2H⊥y軸于H，

∴∠OGB=∠OHB=90°，

∵∠GOB+∠AOB=90°,∠BOH+∠AOB=90°，

∴∠GOB=∠BOH，

∴△BOG≌△BOH，

∴BG=BH，OG=OH，

設B (x,y),則OG=x,BG=y，

∵∠BAO=45°，

∴△ABH是等腰直角三角形，

∴BH=AH=BG=y，

∴AO=AH+OH=x+y=4，

則

解得：

∵PB=，

∴x=1，y=3不符合題意，舍去，

∴B (3,1),B (1,3)，

則點B的坐標為(3,1)或(1,3)，

故答案為：(3,1)或(1,3).