Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE．

（1）求AC、AD的長；

（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AC=8，AD=5cm；（2）直線PC與⊙O相切，理由見解析.

【解析】試題分析：(1)、連接BD，根據AB為直徑，則∠ACB=∠ADB=90°，根據Rt△ABC的勾股定理求出AC的長度，根據CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形，從而得出AD的長度；(2)、連接OC，根據OA=OC得出∠CAO=∠OCA，根據PC=PE得出∠PCE=∠PEC，然后結合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB，從而得出∠PCB=∠ACO，根據∠ACB=90°得出∠OCP=90°，從而說明切線.

試題解析：(1)、①如圖，連接BD， ∵AB是直徑， ∴∠ACB=∠ADB=90°，

在RT△ABC中，AC===8cm，

②∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形， ∴AD=AB=×10=5cm；

(2)、直線PC與⊙O相切，

理由：連接OC， ∵OC=OA，∴∠CAO=∠OCA， ∵PC=PE， ∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠ACO，∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°， OC⊥PC，

∴直線PC與⊙O相切．