Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).

(1)填空：正方形的面積為_______；當(dāng)雙曲線(k≠0)與正方形ABCD有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是_______.

(2)已知拋物線L：(a>0)頂點(diǎn)P在邊BC上，與邊AB，DC分別相交于點(diǎn)E，F，過點(diǎn)B的雙曲線(k≠0)與邊DC交于點(diǎn)N.

①點(diǎn)Q(m，-m2-2m+3)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線L的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)Q隨m運(yùn)動(dòng)，分別求運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)Q在最高位置和最低位置時(shí)的坐標(biāo).

②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)N下方，AE=NF，點(diǎn)P不與B，C兩點(diǎn)重合時(shí)，求的值.

③求證：拋物線L與直線的交點(diǎn)M始終位于軸下方.

Answer 1

【答案】(1)36；0<k<4或-8<k<0；(2)①最高點(diǎn)(-1,4)；最低點(diǎn)(4，-21)；②；③證明見解析.

【解析】

（1）由坐標(biāo)求出正方形的邊長，即可求出面積，討論反比例函數(shù)在一、三象限和二、四象限時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合求出k的范圍；

（2）①由題意可知，，

分，和分別討論Q點(diǎn)符合條件的坐標(biāo)；

②將點(diǎn)B（-2，-2）代入雙曲線，可求k=4和N（4，1），再表示出點(diǎn)E和F，可推出BE=，CF= ， ，再根據(jù)AE=NF可推出，進(jìn)而可求的值；

③由題意得，M，，當(dāng)m=1時(shí)，最小為，當(dāng)或4時(shí)，最大為，再分別討論當(dāng)m=4時(shí),根據(jù)E點(diǎn)不與B點(diǎn)重合，列出不等式可得，當(dāng)時(shí)， F點(diǎn)不與C點(diǎn)重合列出不等式可得，即可得證.

解：（1）由點(diǎn)A（-2，4），B（-2，-2）可知正方形的邊長為6，

∴正方形面積為36；

當(dāng)反比例函數(shù)在一、三象限時(shí)，若經(jīng)過B（-2，-2）則，若經(jīng)過D(4,4)，則，根據(jù)圖像特征，要有4個(gè)交點(diǎn)，則0<k<4；

當(dāng)反比例函數(shù)在二、四象限時(shí)，若經(jīng)過A(-2,4)則，若經(jīng)過C(4，-2)則，根據(jù)圖像特征，要有4個(gè)交點(diǎn)，則-8<k<0，

綜上，k的取值范圍是0<k<4或-8<k<0.

（2）①由題意可知，，

當(dāng)m=-1，最大=4，在運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)Q在最高位置時(shí)的坐標(biāo)為（-1，4）

當(dāng)m<-1時(shí)，隨m的增大而增大，當(dāng)m=-2時(shí)，最小=3，

當(dāng)m>-1時(shí)，隨m的增大而減小，當(dāng)m=4時(shí)，最小=-21，

3>-21，∴最小=-21，點(diǎn)Q在最低位置時(shí)的坐標(biāo)（4，-21）

∴在運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)Q在最高位置時(shí)的坐標(biāo)為（-1，4），最低位置時(shí)的坐標(biāo)為（4，-21）

②將點(diǎn)B（-2，-2）代入雙曲線得 ，∴k=4，∴反比例函數(shù)解析式為

N點(diǎn)橫坐標(biāo)x=4，代入得，∴N（4，1）

由頂點(diǎn)P（m，n）在邊BC上，∴，BP=，CP=

E點(diǎn)橫坐標(biāo)x=-2，F點(diǎn)橫坐標(biāo)x=4，分別代入拋物線可得

E，F，

∴BE=，CF= ，

∴，

又∵AE=NF，點(diǎn)F在點(diǎn)N下方，

∴

化簡得，∴

③由題意得，M，，

∵二次函數(shù)對(duì)稱軸為m=1，，

∴當(dāng)m=1時(shí)，取得最小值為，

當(dāng)或4時(shí)，最大為，

當(dāng)m=4時(shí)，拋物線L為，

E點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，代入拋物線得，∴E

F點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=4，代入拋物線得，∴

∵E點(diǎn)在AB邊上，且此時(shí)不與B重合，

∴，解得

∴，∴

當(dāng)時(shí)，拋物線L為

同理可得E，F

∵F在CD邊上，且此時(shí)不與C重合

∴，解得，

∴，∴

綜上，拋物線L與直線x=1的交點(diǎn)始終位于x軸的下方.