Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，OC＝3．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當△PBC面積最大時，求點P的坐標；

（3）若點Q為線段OC上的一動點，問：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，則頂點D（2，﹣1）；（2）P（，﹣）；（3）H，而點A（1，0），則AH＝，即：AQ+QC的最小值為.

【解析】

將坐標（1，0），B（3，0）代入計算即可得出拋物線的解析式，即可計算出D的坐標.

將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式計算，設點P（x，x2﹣4x+3），則點H（x，﹣x+3），求出x的值即可.

（3）存在，過點C作與y軸夾角為30°的直線CH，過點A作AH⊥CH，垂足為H，

則HQ＝CQ，Q+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，求出k值，再將A的坐標代入計算即可解答.

（1）函數(shù)的表達式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+3，則頂點D（2，﹣1）；

（2）將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝mx+n并解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，過點P作y軸的平行線交BC于點H，

設點P（x，x2﹣4x+3），則點H（x，﹣x+3），

則S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），

∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此時x＝，故點P（，﹣）；

（3）存在，理由：

如上圖，過點C作與y軸夾角為30°的直線CH，過點A作AH⊥CH，垂足為H，

則HQ＝CQ，Q+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，

直線HC所在表達式中的k值為，直線HC的表達式為：y＝x+3…①

則直線AH所在表達式中的k值為﹣ ，

則直線AH的表達式為：y＝﹣x+s，將點A的坐標代入上式并解得：

則直線AH的表達式為：y＝﹣x+…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝，

故點H（，），而點A（1，0），則AH＝，即：AQ+QC的最小值為.