Question

【題目】如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D．

（1）當△ABC的外接圓半徑為1時，且∠BAC=60°，求弧BC的長度．

（2）連接BD，求證：DE=DB．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析.

【解析】

（1）設△ABC的外接圓的圓心為O，連接OB、OC，由圓周角定理得出∠BOC=120°，再由弧長公式即可得出結果；

（2）連接BE，由三角形的內心得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形的外角性質和圓周角定理得出∠DEB=∠DBE，即可得出結論．

（1）解：設△ABC的外接圓的圓心為O，連接OB、OC，如圖1所示：

∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=120°，

∴弧BC的長度==．

（2）證明：連接BE，如圖2所示：

∵E是△ABC的內心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠DEB=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠5

∠5=∠2，

∴∠DEB=∠DBE，

∴DE=DB．