Question

在平面直角坐標系xOy中，邊長為5的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限．
（1）當點坐標為A（4，0）時，求點D的坐標；
（2）求證：OP平分∠AOB；
（3）直接寫出OP長的取值范圍（不要證明）．

Answer 1

（1）作DM⊥x軸于點M，
∴∠AMD=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠AMD=∠AOB．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠OAB+∠DAM=90°．
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠DAM=∠OBA．
在△DMA和△AOB中，

∠AMD=∠AOB ∠DAM=∠OBA AD=AB

，
∴△DMA≌△AOB，
∴AM=OB，DM=AO．
∵A（4，0），
∴OA=4，
∵AB=5，在Rt△AOB中由勾股定理得：
OB=

25-16

=3．
∴AM=3，MD=4，
∴OM=7．
∴D（7，4）；
（2）證明：作PE⊥x軸交x軸于E點，作PF⊥y軸交y軸于F點
∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，
∴△PBF≌△PAE，
∴PE=PF，
∴點P都在∠AOB的平分線上．
（3）作PE⊥x軸交x軸于E點，作PF⊥y軸交y軸于F點，則PE=h，設∠APE=α．
在直角△APE中，∠AEP=90°，PA=

5 2

2

．
∴PE=PA•cosα=

5 2

2

cosa．
∵頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），
∴0°≤α＜45°，
∴

2

2

＜cosa≤1．
∴

5

2

＜PE≤

5 2

2

，．
∵OP=

2

PE，
∴

5 2

2

＜OP≤5．