Question

如圖，O為正方形ABCD的對角線AC與BD的交點，M、N兩點分別在BC與AB上，且OM⊥ON．
（1）試說明OM=ON；
（2）試判斷CN與DM的關系，并加以證明．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∵OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，BD⊥AC，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=∠COB=90°，
∴∠MON-∠MOB=∠COD-∠MOB，
∴∠COM=∠BON，
∵在△ONB和△OMC中，

∠NOB=∠MOC OB=OC ∠OBN=∠OCM

∴△ONB≌△OMC（ASA），
∴OM=ON．

（2）CN=DM，CN⊥DM，
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC=OD，BD⊥AC，
∴∠DOC=∠BOC=90°，
∵∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠BOC+∠BON，
即∠DOM=∠CON，
∵在△DOM和△CON中

OD=OC ∠DOM=∠CON OM=ON

∴△DOM≌△CON（SAS），
∴CN=DM，∠DMO=∠CNO，
∵∠MON=90°，
∴∠NEO+∠CNO=90°，
∵∠MEC=∠NEO，
∴∠DMO+∠MEC=90°，
∴∠MFE=180°-90°=90°，
∴CN⊥DM．