Question

11．如圖，小明設(shè)計(jì)了一個(gè)“簡(jiǎn)易量角器”：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CA=24cm，在AB邊上有一系列點(diǎn)P₁，P₂，P₃…P₈，使得∠P₁CA=10°，∠P₂CA=20°，∠P₃CA=30°，…∠P₈CA=80°．
（1）連接P₆C，求∠AP₆C的度數(shù)；
（2）求線段P₆P₂的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意先作出合適的輔助線，然后根據(jù)題意可以求得∠AP₆C的度數(shù)；
（2）根據(jù)在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CA=24cm，可以求得P₆C的長(zhǎng)度，然后根據(jù)第一問(wèn)求得的∠AP₆C的度數(shù)，可以求得線段P₆P₂的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如下圖一所示：

∵在AB邊上有一系列點(diǎn)P₁，P₂，P₃…P₈，使得∠P₁CA=10°，∠P₂CA=20°，∠P₃CA=30°，…∠P₈CA=80°，
∴∠P₆CA=60°，
∵∠A=30°，
∴∠AP₆C=180°-∠P₆CA-∠A=180°-60°-30°=90°，
即∠AP₆C的度數(shù)是90°；
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CA=24cm，∠AP₆C=90°，
∴AC=2P₆C，
∴P₆C=12cm，
∵∠P₂CA=20°，∠A=30°，
∴∠CP₂P₆=∠P₂CA+∠A=50°，
∵$tan∠C{P}_{2}{P}_{6}=\frac{C{P}_{6}}{{P}_{6}{P}_{2}}$，tan50°≈1.20，
∴${P}_{6}{P}_{2}=\frac{C{P}_{6}}{tan∠C{P}_{2}{P}_{6}}=\frac{12}{1.20}=10$cm，
即線段P₆P₂的長(zhǎng)是10cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出各邊之間的關(guān)系，然后找出所求問(wèn)題需要的條件．