Question

20．求證：等腰三角形兩腰中線的交點在底邊的垂直平分線上．

Answer 1

分析 根據等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB，AD=$\frac{1}{2}AB$，AE=$\frac{1}{2}AC$，得到AD=AE，推出△ABE≌△ACD，根據全等三角形的性質得到∠1=∠2，于是得到∠3=∠4，根據等腰三角形的判定得到OB=OC，即可得到結論．

解答 已知：在△ABC中，AB=AC，D，E分別是AB，AC的中點，CD，BE交于O，
求證：點O在BC的垂直平分線上．
證明：∵AB=AC，D，E分別是AB，AC的中點，
∴∠ABC=∠ACB，AD=$\frac{1}{2}AB$，AE=$\frac{1}{2}AC$，
∴AD=AE，
在△ABE與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠A=∠A}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD；
∴∠1=∠2，
∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，
即∠3=∠4，
∴OB=OC，
∴點O在BC的垂直平分線上．

點評 本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的判定，正確的作出圖形是解題的關鍵．