Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別在OD、OC上，且DE=CF，連接DF、AE，AE的延長線交DF于點(diǎn)M．

（1）求證：AE=DF；

（2）求證：AM⊥DF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOE≌△DOF即可；

（2）由（1）知∠OEA=∠OFD，根據(jù)∠OAE+∠AEO=90°，等量代換即可得證．

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=CO=OD，AC⊥BD，

∴∠AOE=∠DOF=90°，

又∵DE=CF，

∴OD﹣DE=OC﹣CF，即OE=OF，

在△AOE和△DOF中，，

∴△AOE≌△DOF(SAS)，

∴AE=DF；

（2）由（1）得：△AOE≌△DOF，

∴∠OEA=∠OFD，

∵∠OAE+∠AEO=90°，

∴∠OAE+∠OFD=90°，

∴∠AMF=90°，

∴AM⊥DF．