Question

【題目】如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．DE∥AB交AC于點F，CE∥AM，連接AE．

（1）如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．

（3）如圖3，延長BD交AC于點H，若BH⊥AC，且BH＝AM，求∠CAM的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結論成立，理由見解析；（3）∠CAM＝30°．

【解析】

（1）根據DE∥AB，CE∥AM，同位角相等，又BD＝DC，可證得△ABD≌△EDC，繼而證得結論；

（2）作MG∥DE交CE于G，易證四邊形DMGE是平行四邊形，利用(1)的方法證得△ABD≌△EDC，繼而證得結論；

（3）取線段CH的中點I，連接MI，證得MI＝BH＝AM，MI⊥AC，易證得結論.

（1）∵DE∥AB，

∴∠EDC＝∠ABM，

∵CE∥AM，

∴∠ECD＝∠ADB，

∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，

∴BD＝DC，

∴△ABD≌△EDC，

∴AB＝ED，

∵AB∥ED，

∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）結論成立，理由如下：

如圖2，

過點M作MG∥DE交CE于G，

∵CE∥AM，

∴四邊形DMGE是平行四邊形，

∴ED＝GM，且ED∥GM，

∵MG∥DE∥AB

∴∠GMC＝∠ABM，

∵CG∥AM，

∴∠GCM＝∠AMB，

∵AM是△ABC的中線，

∴BM＝MC，

∴△ABM≌△GMC，

∴AB＝GM，AB∥GM，

∴AB∥DE，AB＝DE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（3）如圖3取線段CH的中點I，連接MI，

∵BM＝MC，

∴MI是△BHC的中位線，

∴MI∥BH，MI＝BH，

∵BH⊥AC，且BH＝AM，

∴MI＝AM，MI⊥AC，

∴∠CAM＝30°．