Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，經過B，C兩點的直線為.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點P為拋物線上的動點，過點P作x軸的垂線，交直線BC于點M，連接PC，若為直角三角形，求點P的坐標；

（3）當P滿足（2）的條件，且點P在直線BC上方的拋物線上時，如圖2，將拋物線沿射線BC方向平移，平移后B，P兩點的對應點分別為，，取AB的中點E，連接，，試探究是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標為：或；（3）.

【解析】

（1）先根據一次函數的解析式，分別求出點B和點C的坐標，然后在將B、C的坐標代入二次函數解析式中，即可求出拋物線的函數表達式；

（2）根據直角的情況分類討論：①若，此時，代入到二次函數解析式中，即可求出點P的坐標；②若，先求出直線PC的解析式，從而求出點P的坐標；③當，由圖易知不存在；

（3）連接，，作點C關于直線的對稱點，連接、，先用SAS證出△≌△，此時易證≥，根據兩點之間，線段最短，故當、和E共線時，的值最小，且最小值為，然后利用直線解析式求出的坐標，即可求出的長.

解：（1）B、C過直線

將y=0代入，解得x=3；將x=0代入，解得y=；

∴，

∵拋物線過點B、C

∴

∴

（2）①若，此時，代入到二次函數解析式中，

∴，

∴，

∴

②若（如圖2）

∵

∴

∴

∴直線PC的解析式為：

∴

∴

③當，由圖易知不存在.

綜上所述：點P的坐標為或.

（3）由（2）知，，，PC= EB=2， EB

連接，，作點C關于直線的對稱點，連接、，故

由平移可知：=，

∴∠=∠

∴△≌△

∴=

≥

根據兩點之間，線段最短，故當、和E共線時，的值最小，且最小值為

∵

∴

設直線的解析式為y=kx＋b，將點P坐標代入，可得

直線的解析式為

由（2）的結論可知：直線的解析式為，設的坐標為

∴的中點坐標為，代入中可得：a=1

∴的坐標為

∴，

故