Question

【題目】如圖1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，P、Q同時從B出發，以每秒1個單位長度分別沿B→A→D→C和B→C→D方向運動至相遇時停止.設運動時間為t(秒)，△BPQ的面積為S(平方單位)，S與t的函數圖象如圖2，則下列結論錯誤的個數有( )

①當t=4秒時，S=；②AD=4；③當4≤t≤8時，S=；④當t=9秒時，BP平分梯形ABCD的面積.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】A

【解析】

先判斷△BPQ為等邊三角形，然后表示出△BPQ的面積可判斷①；由圖像可判斷②；用待定系數法求出EF的解析式可判斷③；設梯形高為h，分別表示出梯形的面積和△BCP的面積可判斷④.

解：如圖2所示，動點運動過程分為三個階段：

（1）OE段，函數圖象為拋物線，運動圖形如圖1-1所示．

此時點P在線段AB上、點Q在線段BC上運動．

∵BP=BQ=t，∠B=60°，

∴△BPQ為等邊三角形，

作PH⊥BQ于H，

∵sinB=,

∴PH= t，

∴S=．

由函數圖象可知，當t=4秒時，S=4，故選項①正確．

（2）EF段，函數圖象為直線，運動圖形如圖1-2所示．

此時點P在線段AD上、點Q在線段BC上運動．

由函數圖象可知，此階段運動時間為4s，

∴AD=1×4=4，故選項②正確．

設直線EF的解析式為：S=kt+b，將E（4，4）、F（8，8）代入得：

，

解得，

∴S=t，故選項③錯誤．

（3）FG段，函數圖象為直線，運動圖形如圖1-3所示．

此時點P、Q均在線段CD上運動．

設梯形高為h，則S梯形ABCD=（AD+BC）h=（4+8）h=6h；

當t=9s時，DP=1，則CP=3，

∴CP：CD=3:4，

作DE⊥BC于E，PF⊥BC于F，則PF∥DE，

∴PF：DE=CP：CD=3:4，

∴PF=，

∴S△BCP=S△BCD=3h，

∴S△BCP=S梯形ABCD，即BP平分梯形ABCD的面積，故選項④正確．

故選：A．