Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+4（a≠0）與x軸交于點A和點B（2，0），與y軸交于點C，點D是拋物線在第一象限的點．

（1）當△ABD的面積為4時，
①求點D的坐標；
②聯結OD，點M是拋物線上的點，且∠MDO=∠BOD，求點M的坐標；
（2）直線BD、AD分別與y軸交于點E、F，那么OE+OF的值是否變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+4（a≠0）與x軸交于點A和點B（2，0），

∴A（﹣2，0），4a+4=0，

∴a=﹣1，AB=4，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4，

①設D（m，﹣m2+4），

∵△ABD的面積為4，

∴4= ×4（﹣m2+4）

∴m=± ，

∵點D在第一象限，

∴m= ，

∴D（ ，2），

②如圖1，點M在OD上方時，

∵∠MDO=∠BOD，∴DM∥AB，

∴M（﹣ ，2），當M在OD下方時，

設DM交x軸于G，設G（n，0），

∴OG=n，

∵D（ ，2），

∴DG= ，

∵∠MDO=∠BOD，

∴OG=DG，

∴ ，

∴n= ，

∴G（ ，0），

∵D（ ，2），

∴直線DG的解析式為y=﹣2 x+6①，

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+4②，

聯立①②得，x= ，y=2，此時交點剛好是D點，

所以在OD下方不存在點M

（2）

解：OE+OF的值不發生變化，

理由：如圖2，過點D作DH⊥AB于H，

∴OF∥DH，

∴ ，

設D（b，﹣b2+4），

∴AH=b+2，DH=﹣b2+4，

∵OA=2，

∴ ，

∴OF= ，

同理：OE=2（2+b），

∴OE+OF=2（2﹣b）+2（2+b）=8．

【解析】（1）先確定出拋物線解析式，①設出點D坐標，用三角形ABD的面積建立方程即可得出點D坐標；②分點M在OD上方，利用內錯角相等，兩直線平行，即可得出點M的縱坐標，即可得出M的坐標，帶你M在OD下方時，求出直線DG的解析式，和拋物線解析式聯立求出直線和拋物線的交點即可判斷不存在；（2）設出點D的坐標，利用平行線分線段成比例定理表示出OE，OF求和即可得出結論．