Question

【題目】已知：如圖，MN為⊙O的直徑，ME是⊙O的弦，MD垂直于過點E的直線DE，垂足為點D，且ME平分∠DMN．
求證：
（1）DE是⊙O的切線；
（2）ME2=MDMN．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ME平分∠DMN，

∴∠OME=∠DME，

∵OM=OE，

∴∠OME=∠OEM，

∴∠DME=∠OEM，

∴OE∥DM，

∵DM⊥DE，

∴OE⊥DE，

∵OE過O，

∴DE是⊙O的切線；

（2）證明：連接EN，

∵DM⊥DE，MN為⊙O的半徑，

∴∠MDE=∠MEN=90°，

∵∠NME=∠DME，

∴△MDE∽△MEN，

∴ = ，

∴ME2=MDMN

【解析】（1）求出OE∥DM，求出OE⊥DE，根據切線的判定得出即可；（2）連接EN，求出∠MDE=∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根據相似三角形的判定得出即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．