Question

【題目】如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，與AC平行的圓O的一條切線交CD的延長線于點M，交AB的延長線于點E，切點為F，連接AF交CD于點N．
（1）求證：CA=CN；
（2）連接DF，若cos∠DFA= ，AN=2 ，求圓O的直徑的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OF，則∠OAF=∠OFA，如圖所示．

∵ME與⊙O相切，

∴OF⊥ME．

∵CD⊥AB，

∴∠M+∠FOH=180°．

∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，

∴∠M=2∠OAF．

∵ME∥AC，

∴∠M=∠C=2∠OAF．

∵CD⊥AB，

∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，

∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，

∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，

∴CA=CN．

（2）連接OC，如圖2所示．

∵cos∠DFA= ，∠DFA=∠ACH，

∴ = ．

設CH=4a，則AC=5a，AH=3a，

∵CA=CN，

∴NH=a，

∴AN= = = a=2 ，

∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．

設圓的半徑為r，則OH=r﹣6，

在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，

∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，

解得：r= ，

∴圓O的直徑的長度為2r= ．

【解析】（1）連接OF，根據切線的性質結合四邊形內角和為360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角結合平行線的性質即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通過互余利用角的計算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可證出CA=CN；（2）連接OC，由圓周角定理結合cos∠DFA= 、AN=2 ，即可求出CH、AH的長度，設圓的半徑為r，則OH=r﹣6，根據勾股定理即可得出關于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圓O直徑的長度．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和圓周角定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．