Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．點D是線段AB上的一點，連結CD．過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結DF，給出以下四個結論：① = ；②若點D是AB的中點，則AF= AB；③當B、C、F、D四點在同一個圓上時，DF=DB；④若 = ，則S△ABC=9S△BDF ， 其中正確的結論序號是（ ）

A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：依題意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，
∴ ，
又AB=BC，∴ ．
故結論①正確；
如右圖，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4．
在△ABG與△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，
∴AG=AD；
在△AFG與△AFD中， ，
∴△AFG≌△AFD（SAS）
∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC= AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD= AB= BC；
∵△AFG∽△BFC，∴ = ，∴FC=2AF，
∴AF= AC= AB．
故結論②正確；
當B、C、F、D四點在同一個圓上時，
∴∠2=∠ACB
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠2=45°，
∴∠CFD=∠AFD=90°，
∴CD是B、C、F、D四點所在圓的直徑，
∵BG⊥CD，
∴ ，
∴DF=DB，故③正確；
∵ ，∵AG=BD， ，
∴ ，∴ = ，∴AF= AC，∴S△ABF= S△ABC；∴S△BDF= S△ABF ，
∴S△BDF= S△ABC ， 即S△ABC=12S△BDF ．
故結論④錯誤．
故選C．

【考點精析】關于本題考查的解直角三角形，需要了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能得出正確答案．