Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的 O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E.
（1）求證：點D是AB的中點；
（2）判斷DE與 O的位置關系，并證明你的結論；
（3）若 O的直徑為3，cosB= ，求DE的長.

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連結CD，如圖，

∵BC為直徑，

∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴AD=BD，

即點D是AB的中點；

（2）解：DE與⊙O相切．理由如下：

連結OD，

∵AD=BD，OC=OB，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

而DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE為⊙O的切線．

（3）解：連結CD，如圖，

∵BC為直徑，

∴∠BDC=90°，

在Rt△BDC中，∵cosB= ，

∴BD= BC= ×3=1，

∴AD=BD=1，

在Rt△ADE中，∵cosA=cosB= =

∴AE= AD= ，

∴DE= = = .

【解析】（1）連結OD，如圖，由OD=OB得到∠ODB=∠B，由CA=CB得到∠A=∠B，則∠ODB=∠A，則可判斷OD∥AC，易得BD=AD，即點D是AB的中點；（2）由于OD∥AC，DE⊥AC，所以DE⊥OD，于是根據切線的判定定理可得DE為⊙O的切線；（3）連結CD，如圖，根據圓周角定理得到∠BDC=90°，則在Rt△BDC中，利用余弦定義可計算出BD= BC=1，所以AD=BD=1，接著在Rt△ADE中，利用余弦定義可計算出AE= AD= ，然后根據勾股定理可計算出DE的長．
【考點精析】通過靈活運用切線的判定定理，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．