Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的圖象與y軸正半軸交于A點．

（1）求證：該二次函數的圖象與x軸必有兩個交點；

（2）設該二次函數的圖象與x軸的兩個交點中右側的交點為點B，若∠ABO=45°，將直線AB向下平移2個單位得到直線l，求直線l的解析式；

（3）在（2）的條件下，設M（p，q）為二次函數圖象上的一個動點，當﹣3＜p＜0時，點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）該二次函數的圖象與軸必有兩個交點；（2）y=﹣x﹣1；（3）m的取值范圍為：﹣＜m＜0．

【解析】試題分析：（1）直接利用根的判別式，結合完全平方公式求出△的符號進而得出答案；

（2）首先求出B，A點坐標，進而求出直線AB的解析式，再利用平移規律得出答案；

（3）根據當﹣3＜p＜0時，點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方，當p=0時，q=1；當p=﹣3時，q=12m+4；結合圖象可知：﹣（12m+4）≤2，即可得出m的取值范圍．

試題解析：（1）令mx2﹣（m+n）x+n=0，則△=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2，

∵二次函數圖象與y軸正半軸交于A點，∴A（0，n），且n＞0，

又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴△=（m﹣n）2＞0，

∴該二次函數的圖象與軸必有兩個交點；

（2）令mx2﹣（m+n）x+n=0，解得：x1=1，x2=，由（1）得＜0，故B的坐標為（1，0），

又因為∠ABO=45°，

所以A（0，1），即n=1，

則可求得直線AB的解析式為：y=﹣x+1．

再向下平移2個單位可得到直線l：y=﹣x﹣1；

（3）由（2）得二次函數的解析式為：y=mx2﹣（m+1）x+1．

∵M（p，q） 為二次函數圖象上的一個動點，

∴q=mp2﹣（m+1）p+1．

∴點M關于軸的對稱點M′的坐標為（p，﹣q）．

∴M′點在二次函數y=﹣m2+（m+1）x﹣1上．

∵當﹣3＜p＜0時，點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方，

當p=0時，q=1；當p=﹣3時，q=12m+4；

結合圖象可知：﹣（12m+4）＜2，解得：m＞﹣．

∴m的取值范圍為：﹣＜m＜0．