Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑，作⊙A，交AB于點(diǎn)D，交CA的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AB的平行線EF交⊙A于點(diǎn)F，連接AF，BF，DF．

（1）求證：△ABC≌△ABF;
（2）當(dāng)∠CAB等于多少度時(shí)，四邊形ADFE為菱形？請(qǐng)給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵EF∥AB，

∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，

∵∠E=∠EFA，

∴∠FAB=∠CAB，

在△ABC和△ABF中，

，

∴△ABC≌△ABF.

（2）

解：當(dāng)∠CAB=60°時(shí)，四邊形ADFE為菱形．

證明：∵∠CAB=60°，

∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，

∴EF=AD=AE，

∴四邊形ADFE是菱形．

【解析】（1）首先利用平行線的性質(zhì)得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS證得兩三角形全等即可；
（2）當(dāng)∠CAB=60°時(shí)，四邊形ADFE為菱形，根據(jù)∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，從而得到EF=AD=AE，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判斷四邊形ADFE是菱形．
【考點(diǎn)精析】掌握菱形的判定方法和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線若垂直，順理成章為菱形；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．