Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC=DE．

（1）求證：∠A=∠AEB
（2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，

∴∠A+∠BCD=180°，

∵∠DCE+∠BCD=180°，

∴∠A=∠DCE，

∵DC=DE，

∴∠DCE=∠AEB，

∴∠A=∠AEB

（2）

證明：∵∠A=∠AEB，

∴△ABE是等腰三角形，

∵EO⊥CD，

∴CF=DF，

∴EO是CD的垂直平分線，

∴ED=EC，

∵DC=DE，

∴DC=DE=EC，

∴△DCE是等邊三角形，

∴∠AEB=60°，

∴△ABE是等邊三角形．

【解析】（1）根據圓內接四邊形的性質可得∠A+∠BCD=180°，根據鄰補角互補可得∠DCE+∠BCD=180°，進而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE=∠AEB，進而可得∠A=∠AEB；
（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進而可得∠AEB=60°，再根據∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進而可得△ABE是等邊三角形．
此題考查了圓和幾何圖形的綜合運用，圓內接四邊形的性質和等邊三角形的判定等。