Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動，它們到C點后都停止運動，設點P，Q運動的時間為t秒．

（1）在運動過程中，求P，Q兩點間距離的最大值；
（2）經過t秒的運動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數關系式；
（3）P，Q兩點在運動過程中，是否存在時間t，使得△PQC為等腰三角形？若存在，求出此時的t值；若不存在，請說明理由（≈2.24，結果保留一位小數）.

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過Q作QE⊥AC于E，連接PQ，

∵∠C=90°，

∴QE∥BC，

∴△ABC∽△AQE，

∵AQ=2t，AP=t，

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴PE=t，QE=t，

∴PQ2=QE2+PE2，

∴PQ=t，

當Q與B重合時，PQ的值最大，

∴當t=5時，PQ的最大值=.

（2）

如圖1，△ABC被直線PQ掃過的面積=S△AQP，

當Q在AB邊上時，S=APQE=tt=t2，（0＜t≤5）

當Q在BC邊上時，△ABC被直線PQ掃過的面積=S四邊形ABQP，

∴S四邊形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）；

∴經過t秒的運動，△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數關系式：S=t2或S=﹣t2+16t﹣40．

（3）存在，如圖2，連接CQ，PQ，

由（1）知QE=t，CE=AC﹣AE=8﹣，PQ=t，

∴CQ====2，

①當CQ=CP時，

即：2=8﹣t，

解得；t=，

②當PQ=CQ時，

即；t=2，

解得：t=，t=（不合題意舍去），

③當PQ=PC時，

即t=8﹣t，

解得：t=3﹣5≈1.7；

綜上所述：當t=，t=，t=1.7時，△PQC為等腰三角形．

【解析】（1）如圖1，過Q作QE⊥AC于E，連接PQ，由△ABC∽△AQE，得到比例式 ， 求得PE=t ， QE=t ， 根據勾股定理得到PQ2=QE2+PE2 ， 求出PQ=t，當Q與B重合時，PQ的值最大，于是得到當t=5時，PQ的最大值=3；
（2）由三角形的面積公式即可求得；
（3）存在，如圖2，連接CQ，PQ，分三種情況①當CQ=CP時，②當PQ=CQ時，③當PQ=PC時，列方程求解即可．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．