Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D為斜邊AC延長線上一點，過D點作BC的垂線交其延長線于點E，在AB的延長線上取一點F，使得BF=CE，連接EF．

（1）若AB=2，BF=3，求AD的長度；

（2）G為AC中點，連接GF，求證：∠AFG+∠BEF=∠GFE．

Answer 1

【答案】（1）5（2）見詳解

【解析】

（1）易證DE∥AB，可得△ABC∽△DEC，即可證明△CDE為等腰直角三角形，根據CE即可求得CD的長，根據AB可求得AC的長，根據AD=AC+CD即可解題；

（2）連接EG、BG，易證BG=CG，∠ABG=∠ACB=45°，即可證明△GBF≌△GCE，可得GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，即可證明△EFG為等腰直角三角形，可得∠GFE=∠GEF，根據∠GEF=∠BEG+∠BEF即可解題．

(1)∵DE⊥BE，AB⊥BE，

∴DE∥AB，

∴△ABC∽△DEC，

∴△CDE為等腰直角三角形，

∵CE=BF=3,∴CD=3，

∵AB=2,∴AC=2，

∴AD=AC+CD=5；

(2)連接EG、BG,證明△GBF≌△GCE.:∠AFG+∠BEF=∠GFE.

∵G是等腰直角△ABC斜邊AC中點，

∴BG=CG,∠ABG=∠ACB=45°，

∴∠GBF=∠GCE=135°，

∵在△GBF和△GCE中, GB=GC,∠GBF=∠GCE,BF=CE，

∴△GBF≌△GCE,(SAS)

∴GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，

∵∠BGF+∠FGC=90°，

∴∠CGE+∠FGC=90°,即∠EGF=90°，

∴△EFG為等腰直角三角形，

∴∠GFE=∠GEF=45°，

∵∠GEF=∠BEG+∠BEF，

∴∠GEF=∠AFG+∠BEF，

∴∠AFG+∠BEF=∠GFE.