Question

【題目】邊長為2的正方形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點D是邊OA的中點，連接CD，點 E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直線AB為對稱軸的拋物線過C，E兩點．

（1）求E點坐標；
（2）設拋物線的解析式為y=a（x﹣h）2+k，求a，h，k；
（3）點M為直線AB上一動點，點N為拋物線上一動點，是否存在點M，N，使得以點M，N，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點E作EF⊥x軸于點F，如圖1，

∵DE⊥DC，

∴∠CDO+∠EDF=90°，

∵∠CDO+∠OCD=90°，

∴∠OCD=∠EDF，

在△COD和△DFE中

∴△COD≌△DFE（AAS），

∴OD=EF，DF=CO，

∵CO=OA=2，D為OA中點，

∴EF=OD=DA=1，DF=OC=2，

∴E（3，1）

（2）

解：∵拋物線y=a（x﹣h）2+k以AB為對稱軸，

∴h=2，

∵y=a（x﹣h）2+k經過C（0，2）和E（3，1）兩點，

∴ ，

解得：

（3）

解：①若以DE為平行四邊形的對角線，如圖2，

此時，N點就是拋物線的頂點（2， ），

由N、E兩點坐標可求得直線NE的解析式為：y= x；

∵DM∥EN，

∴設DM的解析式為：y= ，

將D（1，0）代入可求得b=﹣ ，

∴DM的解析式為：y= ，

令x=2，則y= ，

∴M（2， ）；

②過點C作CM∥DE交拋物線對稱軸于點M，連接ME，如圖3，

∵CM∥DE，DE⊥CD，

∴CM⊥CD，

∵OC⊥CB，

∴∠OCD=∠BCM，

在△OCD和△BCM中

，

∴△OCD≌△BCM（ASA），

∴CM=CD=DE，BM=OD=1，

∴CDEM是平行四邊形，

即N點與C占重合，

∴N（0，2），M（2，3）；

③N點在拋物線對稱軸右側，MN∥DE，如圖4，

作NG⊥BA于點G，延長DM交BN于點H，

∵MNED是平行四邊形，

∴∠MDE=MNE，∠ENH=∠DHB，

∵BN∥DF，

∴∠ADH=∠DHB=∠ENH，

∴∠MNB=∠EDF，

在△BMN和△FED中

∴△BMN≌△FED（AAS），

∴BM=EF=1，

BN=DF=2，

∴M（2，1），N（4，2）；

綜上所述，N、M分別以下組合時，以點M，N，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形

N（2， ），M（2， ）；

N（0，2），M（2，3）；

M（2，1），N（4，2）

【解析】（1）過點E作EF⊥x軸于點F，證△COD≌△DFE即可；（2）直線AB就是對稱軸，確定了h，算出C、E兩點坐標，代入拋物線解析式，確定a、k；（3）分三種情況討論：N在拋物線頂點處；N在拋物線對稱軸左側；N在拋物線對稱軸右側．