Question

【題目】如圖所示，拋物線經過原點O與點A（6，0）兩點，過點A作AC⊥x軸，交直線y=2x﹣2于點C，且直線y=2x﹣2與x軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式，并求出點C和點D的坐標；

（2）求點A關于直線y=2x﹣2的對稱點A′的坐標，并判斷點A′是否在拋物線上，并說明理由；

（3）點P（x，y）是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交線段CA′于點Q，設線段PQ的長為l，求l與x的函數關系式及l(fā)的最大值．

Answer 1

【答案】（1），C（6，10），D（1，0）；（2）A′（﹣2，4），A′在拋物線上；（3）l=，（﹣2＜x≤6），l的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）把點O（0，0），A（6，0）代入，得：，解得：，∴拋物線解析式為．

當x=6時，y=2×6﹣2=10，當y=0時，2x﹣2=0，解得x=1，∴點C坐標（6，10），點D的坐標（1，0）；

（2）過點A′作AF⊥x軸于點F，∵點D（1，0），A（6，0），可得AD=5，在Rt△ACD中，CD==，∵點A與點A′關于直線y=2x﹣2對稱，∴∠AED=90°，∴S△ADC=×AE=×5×10，解得AE=，∴AA′=2AE=，DE==，∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，∴△ADE∽△AA′F，∴，解得AF=4，A′F=8，∴OF=8﹣6=2，∴點A′坐標為（﹣2，4），當x=﹣2時，y=，∴A′在拋物線上．

（3）∵點P在拋物線上，則點P（x，），設直線A′C的解析式為y=kx+b，∵直線A經過A′（﹣2，4），C（6，10）兩點，∴，解得：，∴直線A′C的解析式為，∵點Q在直線A′C上，PQ∥AC，點Q的坐標為（x，），∵PQ∥AC，又點Q在點P上方，∴l=（）﹣（）=，∴l與x的函數關系式為l=，（﹣2＜x≤6），∵l==，∴當x=時，l的最大值為．